Теңсіздіктер және олардың жүйелері – математикалық ұғымдар болып табылады және әр түрлі шешімдерді табуға бағытталған әдістерді қамтиды.
Теңсіздік — математикалық өрнектердің бірі болып, бір өрнектің екінші өрнекке қатысты үлкен (немесе кіші) болуын көрсетеді. Мысалы, сияқты өрнектер теңсіздіктердің мысалдары болып табылады.
Теңсіздіктердің түрлері:
  1. Жай теңсіздіктер:
  • Үлкен (>): a>b — «a» саны «b» санынан үлкен.
  • Кіші (<): a<b — «a» саны «b» санынан кіші.
  • Үлкен немесе тең (≥): a≥b — «a» саны «b» санынан үлкен немесе тең.
  • Кіші немесе тең (≤): a≤b — «a» саны «b» санынан кіші немесе тең.
  • Тең емес (≠): a≠b — «a» саны «b» санына тең емес.
2.Күрделі теңсіздіктер:
  • Аралық теңсіздік: a<x<b — «x» саны «a» мен «b» аралығында орналасқан.
  • Теңсіздік жүйелері: бірнеше теңсіздіктердің жиынтығы.
Теңсіздіктер жүйесі — бірнеше теңсіздіктердің жиынтығы болып, оларды бірге шешу талап етіледі. Мысалы:
Бұл теңсіздіктер жүйесін шешу үшін, бір уақытта екі шарттың да орындалуы қажет. Осы жағдайда шешім болады.
Теңсіздіктер жүйесінің шешімі сол жүйедегі барлық теңсіздіктерге сәйкес келетін мәндер жиыны болады.
Теңсіздіктерді шешу әдістері:
  • Графикалық әдіс: теңсіздікті координаталық жазықтықта кескіндеу арқылы шешімнің мәндерін табу.
  • Алгебралық әдіс: теңсіздіктерді теңдеулер сияқты қарастырып, шешімдер жиынын аналитикалық жолмен табу.
  • Қосымша әдістер: жүйелерді шешуде теңсіздіктерді біріктіру, ауыстыру және сандық әдістер қолданылуы мүмкін.
Теңсіздіктер жүйесін шешкенде, оның шешімдерін тексеру маңызды, себебі кейбір шешімдер кейбір теңсіздіктерге қайшы болуы мүмкін.

Міне, теңсіздіктер мен олардың жүйелеріне қатысты бірнеше мысал есептер:

1. Мысал:

Жай теңсіздік

Есеп: 2x−5≥3 теңсіздігін шешіңіз.

Шешуі:1.Алдымен, 2x−5≥3теңсіздігінен xx-ті бір жаққа шығарып аламыз.

2x−5≥3

Екі жағына да 5 қосамыз:

2x≥8

2.Енді екі жағын да 2-ге бөлеміз:

x≥4

Жауабы: x≥4

2. Мысал: Күрделі теңсіздік

Есеп: −3<2x+1≤7 теңсіздіктер жүйесін шешіңіз.

Шешуі: Бұл жүйе екі теңсіздіктен тұрады:

−3<2x+1-3 < 2x + 1

2x+1≤7

Бірінші теңсіздікті шешейік:

−3<2x+1-3 < 2x + 1, екі жағына да 1 қосамыз:

−4<2x-4 < 2x

Енді екі жағын да 2-ге бөлеміз:

−2<x-2 < x

Екінші теңсіздікті шешейік:

2x+1≤7

екі жағына да 1 алып тастаймыз:

2x≤6

Енді екі жағын да 2-ге бөлеміз:

x≤3

Енді, бұл екі шешімді біріктіріп, біз −2<x≤3 деп аламыз.

Жауабы: −2<x≤3

Видеосабақ:сілтеме

Тест:
тест
Тақырыпты қорытуға арналған тест тапсырмалары
Тестті бастау
2x - 5 > 3 теңсіздігін шешіңіз.
Дұрыс жауабы: С)

Берілген теңсіздік:

2x−5>3

1-қадам: Тұрақты санды оң жаққа өткіземіз

2x>3+5

2x>8

x>4

Жауабы: x>4
Дұрыс жауабы: С)

Берілген теңсіздік:

2x−5>3

1-қадам: Тұрақты санды оң жаққа өткіземіз

2x>3+5

2x>8

x>4

Жауабы: x>4
Дұрыс !

Берілген теңсіздік:

2x−5>3

1-қадам: Тұрақты санды оң жаққа өткіземіз

2x>3+5

2x>8

x>4

Жауабы: x>4
Дұрыс жауабы: С)

Берілген теңсіздік:

2x−5>3

1-қадам: Тұрақты санды оң жаққа өткіземіз

2x>3+5

2x>8

x>4

Жауабы: x>4
Келесі
Тексеру
Қорытындысын білу
3(x - 1) > 2x + 4 теңсіздігін шешіңіз.
Дұрыс!
Берілген теңсіздік:

3(x−1)>2x+4

Енді шешімін табайық:

1. Жақшаны ашамыз:

3x−3>2x+4

2. Барлық x-терді бір жаққа, сандарды екінші жаққа шығарамыз:

3x−2x>4+3

x>7

Жауабы: x>7
Дұрыс жауабы: A)
Берілген теңсіздік:

3(x−1)>2x+4

Енді шешімін табайық:

1. Жақшаны ашамыз:

3x−3>2x+4

2. Барлық x-терді бір жаққа, сандарды екінші жаққа шығарамыз:

3x−2x>4+3

x>7

Жауабы: x>7
Дұрыс жауабы: A)
Берілген теңсіздік:

3(x−1)>2x+4

Енді шешімін табайық:

1. Жақшаны ашамыз:

3x−3>2x+4

2. Барлық x-терді бір жаққа, сандарды екінші жаққа шығарамыз:

3x−2x>4+3

x>7

Жауабы: x>7
Дұрыс жауабы: A)
Берілген теңсіздік:

3(x−1)>2x+4

Енді шешімін табайық:

1. Жақшаны ашамыз:

3x−3>2x+4

2. Барлық x-терді бір жаққа, сандарды екінші жаққа шығарамыз:

3x−2x>4+3

x>7

Жауабы: x>7
Келесі
Тексеру
Қорытындысын білу
теңсіздігін шешіңіз.
Дұрыс жауабы: B)
Берілген теңсіздік:

1-қадам: Теңдеудің дискриминантын табайық
Бұл квадрат теңсіздік. Алдымен теңдеуді шешеміз:

Дискриминантты (D) табайық:

2-қадам: Түбірлерін табу

Осыдан:

3-қадам: Теңсіздікті шешу
Бізге:

Коэффициенттерге қарай бұл парабола жоғары қарай ашылады (a = 1 > 0).
Сондықтан өрнек 1 мен 3 аралығында теріс немесе нөлге тең болады.
Жауабы:
Дұрыс!
Берілген теңсіздік:

1-қадам: Теңдеудің дискриминантын табайық
Бұл квадрат теңсіздік. Алдымен теңдеуді шешеміз:

Дискриминантты (D) табайық:

2-қадам: Түбірлерін табу

Осыдан:

3-қадам: Теңсіздікті шешу
Бізге:

Коэффициенттерге қарай бұл парабола жоғары қарай ашылады (a = 1 > 0).
Сондықтан өрнек 1 мен 3 аралығында теріс немесе нөлге тең болады.
Жауабы:
Дұрыс жауабы: B)
Берілген теңсіздік:

1-қадам: Теңдеудің дискриминантын табайық
Бұл квадрат теңсіздік. Алдымен теңдеуді шешеміз:

Дискриминантты (D) табайық:

2-қадам: Түбірлерін табу

Осыдан:

3-қадам: Теңсіздікті шешу
Бізге:

Коэффициенттерге қарай бұл парабола жоғары қарай ашылады (a = 1 > 0).
Сондықтан өрнек 1 мен 3 аралығында теріс немесе нөлге тең болады.
Жауабы:
Дұрыс жауабы: B)
Берілген теңсіздік:

1-қадам: Теңдеудің дискриминантын табайық
Бұл квадрат теңсіздік. Алдымен теңдеуді шешеміз:

Дискриминантты (D) табайық:

2-қадам: Түбірлерін табу

Осыдан:

3-қадам: Теңсіздікті шешу
Бізге:

Коэффициенттерге қарай бұл парабола жоғары қарай ашылады (a = 1 > 0).
Сондықтан өрнек 1 мен 3 аралығында теріс немесе нөлге тең болады.
Жауабы:
Келесі
Тексеру
Қорытындысын білу
теңсіздігін шешіңіз.
Дұрыс жауабы: B)
Берілген теңсіздік:

1-қадам: Модульдің анықтамасын қолданамыз
Егер , онда
Біздің жағдайда:

2-қадам: Ортадағы x-ті оқшаулаймыз
Үш жақты теңсіздікке 3-ті қосамыз:

Жауабы:
Дұрыс жауабы: B)
Берілген теңсіздік:

1-қадам: Модульдің анықтамасын қолданамыз
Егер , онда
Біздің жағдайда:

2-қадам: Ортадағы x-ті оқшаулаймыз
Үш жақты теңсіздікке 3-ті қосамыз:

Жауабы:
Дұрыс!
Берілген теңсіздік:

1-қадам: Модульдің анықтамасын қолданамыз
Егер , онда
Біздің жағдайда:

2-қадам: Ортадағы x-ті оқшаулаймыз
Үш жақты теңсіздікке 3-ті қосамыз:

Жауабы:
Дұрыс жауабы: B)
Берілген теңсіздік:

1-қадам: Модульдің анықтамасын қолданамыз
Егер , онда
Біздің жағдайда:

2-қадам: Ортадағы x-ті оқшаулаймыз
Үш жақты теңсіздікке 3-ті қосамыз:

Жауабы:
Келесі
Тексеру
Қорытындысын білу
20%
 Тақырыпқа тағы бір шолу жасауды ұсынамын!:)
Қайтадан өту
40%
Қосымша материалдарды оқу қажет :)
Қайтадан өту
60%
Жаман емес, бірақ әліде білімді жетілдіру керек:)
Қайтадан өту
80%
Керемет бастама!:)
Қайтадан өту
100%

Тамаша!
Қайтадан өту
тест
Тақырыпты қорытуға арналған тест тапсырмалары №2
Тестті бастау
Теңсіздікті шешіңіз:
Дұрыс!
Берілген:

(x−5)(9−x)≤0

Теңсіздікті түрлендіреміз:

−(x−5)(x−9)≤0⇒(x−5)(x−9)≥0

Жауабы:(-∞;5]∪[9;+∞)
Дұрыс жауабы: A)
Берілген:

(x−5)(9−x)≤0

Теңсіздікті түрлендіреміз:

−(x−5)(x−9)≤0⇒(x−5)(x−9)≥0

Жауабы:(-∞;5]∪[9;+∞)

Дұрыс жауабы: A)
Берілген:

(x−5)(9−x)≤0

Теңсіздікті түрлендіреміз:

−(x−5)(x−9)≤0⇒(x−5)(x−9)≥0

Жауабы:(-∞;5]∪[9;+∞)

Дұрыс жауабы: A)
Берілген:

(x−5)(9−x)≤0

Теңсіздікті түрлендіреміз:

−(x−5)(x−9)≤0⇒(x−5)(x−9)≥0

Жауабы:(-∞;5]∪[9;+∞)

Келесі
Тексеру
Қорытындысын білу
Теңсіздікті шешіңіз: (x+2)7(x-3)2(x+5)6>0
Дұрыс жауабы: D)
Берілген:

(x+2)7(x-3)2(x+5)6>0

1. Нөлге тең болатын нүктелер:x=−5, x=−2, x=3
2. Дәрежелер:
(x + 2)7 — тақ (таңба өзгертеді)
(x - 3)2, (x + 5)6 — жұп (таңба өзгертпейді)
3. Интервалдар мен таңбалар:
  • (−∞,−5) — теріс (–)
  • (−5,−2) — оң (+)
  • (−2,3) — оң (+)
  • (3,∞) — оң (+)
Нүктелердің өзінде өрнек 0 болады → теңсіздік “> 0” болғандықтан, кірмейді.
Жауап: x∈(−5,−2)∪(−2,3)∪(3,+∞)
Дұрыс жауабы: D)
Берілген:

(x+2)7(x-3)2(x+5)6>0

1. Нөлге тең болатын нүктелер:x=−5, x=−2, x=3

2. Дәрежелер:
(x + 2)7 — тақ (таңба өзгертеді)
(x - 3)2, (x + 5)6 — жұп (таңба өзгертпейді)
3. Интервалдар мен таңбалар:
  • (−∞,−5) — теріс (–)
  • (−5,−2) — оң (+)
  • (−2,3) — оң (+)
  • (3,∞) — оң (+)
Нүктелердің өзінде өрнек 0 болады → теңсіздік “> 0” болғандықтан, кірмейді.
Жауап: x∈(−5,−2)∪(−2,3)∪(3,+∞)
Дұрыс жауабы: D)
Берілген:

(x+2)7(x-3)2(x+5)6>0

1. Нөлге тең болатын нүктелер:x=−5, x=−2, x=3

2. Дәрежелер:
(x + 2)7 — тақ (таңба өзгертеді)
(x - 3)2, (x + 5)6 — жұп (таңба өзгертпейді)
3. Интервалдар мен таңбалар:
  • (−∞,−5) — теріс (–)
  • (−5,−2) — оң (+)
  • (−2,3) — оң (+)
  • (3,∞) — оң (+)
Нүктелердің өзінде өрнек 0 болады → теңсіздік “> 0” болғандықтан, кірмейді.
Жауап: x∈(−5,−2)∪(−2,3)∪(3,+∞)
Дұрыс!
Берілген:

(x+2)7(x-3)2(x+5)6>0

1. Нөлге тең болатын нүктелер:x=−5, x=−2, x=3

2. Дәрежелер:
(x + 2)7 — тақ (таңба өзгертеді)
(x - 3)2, (x + 5)6 — жұп (таңба өзгертпейді)
3. Интервалдар мен таңбалар:
  • (−∞,−5) — теріс (–)
  • (−5,−2) — оң (+)
  • (−2,3) — оң (+)
  • (3,∞) — оң (+)
Нүктелердің өзінде өрнек 0 болады → теңсіздік “> 0” болғандықтан, кірмейді.
Жауап: x∈(−5,−2)∪(−2,3)∪(3,+∞)
Келесі
Тексеру
Қорытындысын білу
Теңсіздікті шешіңіз:
Дұрыс !
1. Жай бөлшекті жіктейміз:

(x−4)(x+4)(x−6)(x+1)≥0

2. Нөл және анықталмаған нүктелер:
  • Нөлге тең: x=−4,4
  • Анықталмаған: x=−1,6
3. Таңба анализі:

Интервал

Таңба

(−∞,−4)

+

(−4,−1)

–

(−1,4)

–

(4,6)

–

(6,∞)

+

Жауап: x∈(−∞,−4]∪[4,6)∪(6,+∞)
Дұрыс жауабы: A)
1. Жай бөлшекті жіктейміз:

(x−4)(x+4)(x−6)(x+1)≥0

2. Нөл және анықталмаған нүктелер:
  • Нөлге тең: x=−4,4
  • Анықталмаған: x=−1,6
3. Таңба анализі:

Интервал

Таңба

(−∞,−4)

+

(−4,−1)

–

(−1,4)

–

(4,6)

–

(6,∞)

+

Жауап: x∈(−∞,−4]∪[4,6)∪(6,+∞)
Дұрыс жауабы: A)
Қысқаша шешім:
1. Жай бөлшекті жіктейміз:

(x−4)(x+4)(x−6)(x+1)≥0

2. Нөл және анықталмаған нүктелер:
  • Нөлге тең: x=−4,4
  • Анықталмаған: x=−1,6
3. Таңба анализі:

Интервал

Таңба

(−∞,−4)

+

(−4,−1)

–

(−1,4)

–

(4,6)

–

(6,∞)

+

Жауап: x∈(−∞,−4]∪[4,6)∪(6,+∞)
Дұрыс жауабы: A)
1. Жай бөлшекті жіктейміз:

(x−4)(x+4)(x−6)(x+1)≥0

2. Нөл және анықталмаған нүктелер:
  • Нөлге тең: x=−4,4
  • Анықталмаған: x=−1,6
3. Таңба анализі:

Интервал

Таңба

(−∞,−4)

+

(−4,−1)

–

(−1,4)

–

(4,6)

–

(6,∞)

+

Жауап: x∈(−∞,−4]∪[4,6)∪(6,+∞)
Келесі
Тексеру
Қорытындысын білу
  • Теңсіздікті шешіңіз:1-x/x+8>0
Дұрыс жауабы: C)
1. Нөл және анықталмаған нүктелер:
  • 1−x=0⇒x=1
  • x+8=0⇒x=−8
2. Сан осін бөлеміз:Нүктелер: x=−8, x=1
Интервалдар:
  • (−∞,−8)
  • (−8,1)
  • (1,+∞)
3. Таңбаларды тексереміз:
  • (−∞,−8): (+)/(−)=−
  • (−8,1): (+)/(+)=+
  • (1,+∞): (−)/(+)=−
4. Шарт: >0⇒бөлшек оң
Бұл тек (−8,1) аралығында орындалады.
Жауап: x∈(−8,1)
Дұрыс жауабы: C)
1. Нөл және анықталмаған нүктелер:
  • 1−x=0⇒x=1
  • x+8=0⇒x=−8
2. Сан осін бөлеміз:Нүктелер: x=−8, x=1
Интервалдар:
  • (−∞,−8)
  • (−8,1)
  • (1,+∞)
3. Таңбаларды тексереміз:
  • (−∞,−8): (+)/(−)=−
  • (−8,1): (+)/(+)=+
  • (1,+∞): (−)/(+)=−
4. Шарт: >0⇒бөлшек оң
Бұл тек (−8,1) аралығында орындалады.

Жауап: x∈(−8,1)

Дұрыс!
1. Нөл және анықталмаған нүктелер:
  • 1−x=0⇒x=1
  • x+8=0⇒x=−8
2. Сан осін бөлеміз:Нүктелер: x=−8, x=1
Интервалдар:
  • (−∞,−8)
  • (−8,1)
  • (1,+∞)
3. Таңбаларды тексереміз:
  • (−∞,−8): (+)/(−)=−
  • (−8,1): (+)/(+)=+
  • (1,+∞): (−)/(+)=−
4. Шарт: >0⇒бөлшек оң
Бұл тек (−8,1) аралығында орындалады.
Жауап: x∈(−8,1)
Дұрыс жауабы: C)
1. Нөл және анықталмаған нүктелер:
  • 1−x=0⇒x=1
  • x+8=0⇒x=−8
2. Сан осін бөлеміз:Нүктелер: x=−8, x=1
Интервалдар:
  • (−∞,−8)
  • (−8,1)
  • (1,+∞)
3. Таңбаларды тексереміз:
  • (−∞,−8): (+)/(−)=−
  • (−8,1): (+)/(+)=+
  • (1,+∞): (−)/(+)=−
4. Шарт: >0⇒бөлшек оң
Бұл тек (−8,1) аралығында орындалады.
Жауап: x∈(−8,1)
Келесі
Тексеру
Қорытындысын білу
20%
 Тақырыпқа тағы бір шолу жасауды ұсынамын!:)
Қайтадан өту
40%
Қосымша материалдарды оқу қажет :)
Қайтадан өту
60%
Жаман емес, бірақ әліде білімді жетілдіру керек:)
Қайтадан өту
80%
Керемет бастама!:)
Қайтадан өту
100%

Тамаша!
Қайтадан өту
This site was made on Tilda — a website builder that helps to create a website without any code
Create a website
How to remove this block? About platform Submit a complaint